Progressão Aritmética: seu aniversário vai ajudar você!

Quem já fez muitos exercícios de Matemática sabe que os vestibulares adoram fazer contas com o número do ano. Neste caso, você pode experar alguma coisa com 2018 por agora, certo?

E se a pergunta for: quanto dá a soma de todos os anos, desde o ano 1 d.C até 2018? Pensou em fazer a conta um por um? Então pense de novo! Seu aniversário vai ensinar você a usar a progressão aritmética e tirar de letra essa conta.

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Progressão aritmética

Existe um jeito bem mais fácil de somar elementos em uma sequência — e não é fazendo 2018 cálculos! Esse jeito se chama progressão aritmética!

A famosa PA é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos (um depois do outro) é sempre a mesma. Esse é o caso dos anos, por exemplo, como é o do seu aniversário.

Quem nasceu em 2000, fez um ano de idade em 2001. Em 2002 fez quanto? Dois anos de idade. E por aí vai, a cada ano que passa você fica um ano mais velha(o).

Pode parecer óbvio, e é mesmo! A PA é simples assim! Vejamos um outro exemplo:

(3, 7, 11, 15, …)

Se você usar a lógica de “cada ano”, você quanto foi o “envelhecimento” entre um termo e outro. Assim:

15 – 11 = 4
11 – 7 = 4
7 – 3 = 4

Viu como o “a cada ano” os termos da PA “envelhecem” a mesma quantidade? Na Matemática, esse “envelhecimento” é chamado de razão.

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Como descobrir a razão ou um termo qualquer

Com a sua idade, a conta da PA é fácil porque a razão é 1, certo? Um ano mais velha(o) toda vez que você faz aniversário. Mas quando a razão é um outro número, tipo o “4” do exemplo acima, a conta já fica um pouco mais difícil de fazer de cabeça.

Para facilitar, os matemáticos desenvolveram uma fórmula que permite a você “adivinhar” — na verdade, calcular — qualquer número em uma progressão aritmética. Vejamos:

an = ap + (n – p) . r

an = número que você quer descobrir
ap = número que a questão informou
r = razão

Vamos ver como essa fórmula funciona no exemplo acima. Qual será 2018° número da sequência (3, 7, 11, 15, …)?

a1 = 3
a2 = 7
a2018 = x

Aplicando a fórmula:

an = ap + (n – p) . r
a2018 = a1 + (2018 – 1) . r
a2018 = 3 + 2017 . 4
a2018 = 3 + 8.068
a2018 = 8.071

E a tal soma dos anos?

Muito bem, vamos à resposta da pergunta principal: como somar tooodos os anos de 1 d.C. até 2018?

Você até poderia usar uma fórmula, mas vamos tentar de outro jeito, para você não decorar mais uma coisa.

Se você fosse somar um por um, cada ano, teria:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2018

O truque é inverter a ordem da sequência e fazer “duas somas”:

S        = 2018 + 2017 + 2016 + … +    1
S        =     1     +     2    +     3     + … + 2018
S + S = 2019 + 2019 + 2019 + … = 2019

Vish! Se apavorou? Calma! Não precisa fazer 2018 somas! Você notou que todas elas têm o mesmo resultado? Então você pode fazer uma multiplicação — que é uma conta só. Veja:

2S = 2018 . 2019

Note que esse “2018” é o número de vezes que você ia somar 2019+2019+2019…

Aí é só passar o 2 do “2 . S” (S + S = 2S) para o outro lado dividindo:

S = 2018 . 2019 / 2
S = 1009 . 2019
S = 4.056.171

Confira a explicação detalhadinha do professor Lucas Spillere:

Mais uma, para praticar!

Vamos testar a soma de novo? Vamos usar aquela mesma sequência de antes. Qual é a soma dos primeiros 2018 números da sequência (3, 7, 11, 15, …)?

S = 3 + 7 + 11 + 15 + … + opa, quem é o último?

Hehe percebeu que faltou uma coisa, né? Primeiro, a gente precisa saber quem é o 2018° termo dessa sequência. Isso a gente descobriu antes, lembra? É 8.071 😉

S        =    3      +      7     +      11    +      15    + … + 8.071
S        = 8.071 + 8.067 + 8.063 + 8.059 + … +     3
S + S = 8.074 + 8.074 + 8.074 . 8.074 + … + 8.074
2S = 2018 . 8.074
S = 2018 . 8.074 / 2
S = 8.146.666

A multiplicação é graaande, mas bem mais fácil do que somar 2018 vezes, né? 😉

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